Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=ln (2) cdot log 2(x^2+2 x+1), em (0,0)

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a reta tangente à função f(x) = ln(2) cdot log2(x^2 + 2x + 1) no ponto (0,0). Isso envolve entender de derivadas e como elas nos dão a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observe que x^2 + 2x + 1 pode ser reescrito como (x + 1)^2 . Então, a função fica:
f(x) = ln(2) cdot log2((x + 1)^2)

Passo 3

Sabemos que log2(a^b) = b cdot log2(a) . Aplicando essa propriedade:
f(x) = ln(2) cdot 2 cdot log2(x + 1)
f(x) = 2 ln(2) cdot log2(x + 1)

Passo 4

Agora, precisamos derivar f(x) . A derivada de log2(u) em relação a x é 1u ln(2) cdot u' . Aplicando isso:
f'(x) = 2 ln(2) cdot ( 1(x + 1) ln(2) cdot 1 )
f'(x) = 2 ln(2)(x + 1) ln(2)
f'(x) = 2x + 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = 0 :
f'(0) = 20 + 1
f'(0) = 2
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 6

Sabemos que a reta tangente tem a forma y = m x + b , onde m é a inclinação e b é a ordenada na origem. Já temos m = 2 . Como a reta passa pelo ponto (0,0) , substituindo:
0 = 2 cdot 0 + b
b = 0

Resposta

A reta tangente à função no ponto (0,0) é y = 2x .

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