Considere a função abaixo e responda:
Para os valores de
encontrados no item anterior,
é diferenciável em 1?
Para os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função definida por partes e pede para verificar se, para determinados valores de
, a função é diferenciável em
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas, especialmente aplicados a funções por partes.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso é essencial porque, para a função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua ali. A continuidade em
significa que o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
) da função:
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda,
se aproxima de 0. Sabemos que
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita (
) da função:
Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que:
Então, temos:
Podemos reescrever isso como:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, igualamos os limites obtidos aos dois lados e ao valor da função em
:
Substituindo os valores:
Portanto, para a função ser contínua em
,
deve ser igual a 0.
Passo 6
Agora que garantimos que a função é contínua em
quando
, vamos verificar a diferenciabilidade nesse ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em
e verificar se são iguais.
Passo 7
Vamos calcular a derivada pela esquerda (
) da função:
Derivando em relação a
:
Avaliar em
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada pela direita (
) da função:
Podemos simplificar a função antes de derivar:
Sabemos que
tende a 1 quando
. Então, a derivada será:
Ao avaliar em
, percebemos que todos os termos multiplicados por
serão zero, então:
Passo 9
Agora, comparamos as derivadas pela esquerda e pela direita:
Como
, a derivada não existe nesse ponto.
Resposta
Para
, a função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.