Considere a função abaixo e responda:

Para os valores de encontrados no item anterior, é diferenciável em 1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função definida por partes e pede para verificar se, para determinados valores de b , a função é diferenciável em x = 1 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas, especialmente aplicados a funções por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em x = 1 . Isso é essencial porque, para a função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua ali. A continuidade em x = 1 significa que o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função em x = 1 .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( x to 1^- ) da função:
f(x) = 1 - x + e^(x-1) cdot sin(x-1)
Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, x - 1 se aproxima de 0. Sabemos que e^0 = 1 e sin(0) = 0 . Portanto:
limx to 1^- f(x) = 1 - 1 + 1 cdot 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( x to 1^+ ) da função:
f(x) = sin^2(x-1)x-1
Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que:
sin^2(x-1) = (sin(x-1))^2
Então, temos:
limx to 1^+ (sin(x-1))^2x-1
Podemos reescrever isso como:
limx to 1^+ sin(x-1) cdot sin(x-1)x-1
Sabemos que:
limh to 0 sin hh = 1
Portanto:
limx to 1^+ sin(x-1) cdot 1 = 0

Passo 5

Agora, igualamos os limites obtidos aos dois lados e ao valor da função em x = 1 :
limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) = f(1)
Substituindo os valores:
0 = b = 0
Portanto, para a função ser contínua em x = 1 , b deve ser igual a 0.

Passo 6

Agora que garantimos que a função é contínua em x = 1 quando b = 0 , vamos verificar a diferenciabilidade nesse ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em x = 1 e verificar se são iguais.

Passo 7

Vamos calcular a derivada pela esquerda ( x to 1^- ) da função:
f(x) = 1 - x + e^(x-1) cdot sin(x-1)
Derivando em relação a x :
f'(x) = -1 + e^(x-1) cdot sin(x-1) + e^(x-1) cdot cos(x-1)
Avaliar em x = 1 :
f'(1^-) = -1 + e^0 cdot sin(0) + e^0 cdot cos(0)
f'(1^-) = -1 + 0 + 1 = 0

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada pela direita ( x to 1^+ ) da função:
f(x) = sin^2(x-1)x-1
Podemos simplificar a função antes de derivar:
f(x) = sin(x-1) cdot sin(x-1)x-1
Sabemos que sin(x-1)x-1 tende a 1 quando x to 1 . Então, a derivada será:
f'(x) = cos(x-1) cdot sin(x-1)x-1 + sin(x-1) cdot ( cos(x-1) cdot (x-1) - sin(x-1)(x-1)^2 )
Ao avaliar em x = 1 , percebemos que todos os termos multiplicados por sin(x-1) serão zero, então:
f'(1^+) = cos(0) cdot 1 = 1

Passo 9

Agora, comparamos as derivadas pela esquerda e pela direita:
f'(1^-) = 0
f'(1^+) = 1
Como f'(1^-) neq f'(1^+) , a derivada não existe nesse ponto.

Resposta

Para b = 0 , a função f é contínua em x = 1 , mas não é diferenciável nesse ponto porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

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