Calcule a função derivada das funções abaixo:
log 2(x^2) para x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função log2(x^2), onde x neq 0. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções logarítmicas e derivadas. Vamos por partes para entender direitinho como chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma das propriedades dos logaritmos que diz que logb(a^c) = c cdot logb(a). Aplicando isso na nossa função:
log2(x^2) = 2 cdot log2(x)
Agora, nossa função fica mais simples: 2 cdot log2(x).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função simplificada. A derivada de uma constante multiplicando uma função é igual à constante multiplicando a derivada da função. Ou seja, se temos k cdot f(x), a derivada é k cdot f'(x). No nosso caso, a constante é 2.
Então, precisamos encontrar a derivada de log2(x). Sabemos que a derivada de logb(x) em relação a x é:
ddx logb(x) = 1x cdot ln(b)
Onde ln(b) é o logaritmo natural de b.

Passo 4

Aplicando a fórmula acima para log2(x), temos:
ddx log2(x) = 1x cdot ln(2)
Agora, multiplicamos isso pela constante 2 que estava na nossa função original:
2 cdot 1x cdot ln(2) = 2x cdot ln(2)

Resposta

A derivada da função log2(x^2) é:
2x cdot ln(2)

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