Calcule a reta tangente à função f(x)=arctan (x) que é paralela à reta y=x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a reta tangente à função $ f(x) = \arctan(x) $ que seja paralela à reta $ y = x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente, e condições de paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \arctan(x) $.
A derivada de $ \arctan(x) $ é:
f(x) = arctan(x)

Passo 3

Sabemos que retas paralelas têm a mesma inclinação. A equação da reta $ y = x $ tem uma inclinação (coeficiente angular) de 1. Portanto, queremos encontrar a reta tangente à função $ f(x) $ cuja inclinação também seja 1.

Passo 4

Igualamos a derivada de $ f(x) $ à inclinação da reta $ y = x $:
f(x)
y = x

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + x^2 $:
11 + x^2 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 + x^2
1 = 1 + x^2

Passo 6

Encontramos que $ x = 0 $. Agora, vamos encontrar o ponto na função $ f(x) $ correspondente a esse valor de $ x $:
x = 0
Portanto, o ponto de tangência é $ (0, 0) $.

Passo 7

Sabemos que a equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
y = m(x - x0) + y0
onde $ m $ é a inclinação, e $ (x_0, y_0) $ é o ponto de tangência.
Substituindo $ m = 1 $ e $ (x_0, y_0) = (0, 0) $:
m
(x0, y0)

Resposta

A reta tangente à função $ f(x) = \arctan(x) $ que é paralela à reta $ y = x $ é $ y = x $.

Exercícios relacionados