Calcule a reta tangente à função
que é paralela à reta
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a reta tangente à função $ f(x) = \arctan(x) $ que seja paralela à reta $ y = x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente, e condições de paralelismo entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = \arctan(x) $.
A derivada de $ \arctan(x) $ é:
Passo 3
Sabemos que retas paralelas têm a mesma inclinação. A equação da reta $ y = x $ tem uma inclinação (coeficiente angular) de 1. Portanto, queremos encontrar a reta tangente à função $ f(x) $ cuja inclinação também seja 1.
Passo 4
Igualamos a derivada de $ f(x) $ à inclinação da reta $ y = x $:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + x^2 $:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 6
Encontramos que $ x = 0 $. Agora, vamos encontrar o ponto na função $ f(x) $ correspondente a esse valor de $ x $:
Portanto, o ponto de tangência é $ (0, 0) $.
Passo 7
Sabemos que a equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
onde $ m $ é a inclinação, e $ (x_0, y_0) $ é o ponto de tangência.
Substituindo $ m = 1 $ e $ (x_0, y_0) = (0, 0) $:
Resposta
A reta tangente à função $ f(x) = \arctan(x) $ que é paralela à reta $ y = x $ é $ y = x $.