Encontre a reta tangente à função no ponto dado
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à função
no ponto
. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Ou seja, precisamos encontrar a derivada de
e depois calcular
para saber a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, substituindo
na derivada:
Passo 8
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
e tem inclinação
. Vamos usar a forma ponto-inclinação da reta:
Onde
,
e
.
Passo 9
Substituindo os valores:
Vamos simplificar para a forma geral da reta:
Resposta
A reta tangente à função
no ponto
é: