Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=x^2x^3+1, em (1, 12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à função f(x) = x^2x^3 + 1 no ponto (1, 12) . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma função em um ponto específico tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Ou seja, precisamos encontrar a derivada de f(x) e depois calcular f'(1) para saber a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = x^2x^3 + 1 . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se f(x) = u(x)v(x) , então:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = x^2 e v(x) = x^3 + 1 .

Passo 4

Vamos encontrar u'(x) e v'(x) :
u'(x) = ddx(x^2) = 2x
v'(x) = ddx(x^3 + 1) = 3x^2

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 2x(x^3 + 1) - x^2(3x^2)(x^3 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
2x(x^3 + 1) = 2x^4 + 2x
x^2(3x^2) = 3x^4
Então, 2x^4 + 2x - 3x^4 = -x^4 + 2x ã

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = -x^4 + 2x(x^3 + 1)^2

Passo 7

Agora, vamos calcular f'(1) , substituindo x = 1 na derivada:
f'(1) = -(1)^4 + 2(1)(1^3 + 1)^2 = -1 + 2(1 + 1)^2 = 14

Passo 8

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto (1, 12) e tem inclinação 14 . Vamos usar a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Onde m = 14 , x0 = 1 e y0 = 12 .

Passo 9

Substituindo os valores:
y - 12 = 14(x - 1)
Vamos simplificar para a forma geral da reta:
y = 14x - 14 + 12 = 14x + 14

Resposta

A reta tangente à função f(x) = x^2x^3 + 1 no ponto (1, 12) é:
y = 14x + 14

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