Calcule
onde
é definido pela equação
E em seguida calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, a partir da equação implícita:
Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que é útil quando
está misturado com
na equação. No final, também vamos calcular o valor da derivada quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o diferenciador
em ambos os lados da equação. Lembrando que
é uma função de
, então sempre que derivarmos
, vamos multiplicar por
.
Aplicando a derivada:
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- Para
, usamos a regra do produto:
- Para
, novamente a regra do produto:
- Para o lado direito:
Passo 4
Juntando tudo, temos:
Agora, vamos isolar os termos que têm
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
quando
. Primeiro, precisamos encontrar o valor de
quando
na equação original:
Substituindo
e
na expressão da derivada: