Calcule d yd x onde y é definido pela equação
y x^3+x y^2=y-1
E em seguida calcule d yd x(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx , a partir da equação implícita:
y x^3 + x y^2 = y - 1
Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que é útil quando y está misturado com x na equação. No final, também vamos calcular o valor da derivada quando x = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o diferenciador ddx em ambos os lados da equação. Lembrando que y é uma função de x , então sempre que derivarmos y , vamos multiplicar por dydx .
Aplicando a derivada:
ddx(y x^3) + ddx(x y^2) = ddx(y) - ddx(1)

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Para ddx(y x^3) , usamos a regra do produto:
ddx(y) cdot x^3 + y cdot ddx(x^3) = dydx cdot x^3 + y cdot 3x^2
  1. Para ddx(x y^2) , novamente a regra do produto:
ddx(x) cdot y^2 + x cdot ddx(y^2) = 1 cdot y^2 + x cdot 2y cdot dydx = y^2 + 2x y dydx
  1. Para o lado direito:
ddx(y) - ddx(1) = dydx - 0 = dydx

Passo 4

Juntando tudo, temos:
dydx cdot x^3 + 3x^2 y + y^2 + 2x y dydx = dydx
Agora, vamos isolar os termos que têm dydx :
dydx cdot x^3 + 2x y dydx - dydx = -3x^2 y - y^2
Fatorando dydx :
dydx (x^3 + 2x y - 1) = -3x^2 y - y^2
Finalmente, isolando dydx :
dydx = -3x^2 y - y^2x^3 + 2x y - 1

Passo 5

Agora, vamos calcular dydx quando x = 0 . Primeiro, precisamos encontrar o valor de y quando x = 0 na equação original:
y cdot 0^3 + 0 cdot y^2 = y - 1 implies 0 + 0 = y - 1 implies y = 1
Substituindo x = 0 e y = 1 na expressão da derivada:
dydx = -3(0)^2 cdot 1 - 1^20^3 + 2 cdot 0 cdot 1 - 1 = 0 - 10 + 0 - 1 = -1-1 = 1

Resposta

dydx(0) = 1

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