Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=x ln (x^2), em (e, 2 e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente à função f(x) = x ln (x^2) no ponto (e, 2e) . Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar inclinações de retas tangentes a curvas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar as derivadas. Sabemos que ln(x^2) = 2ln(x) , então a função fica:
f(x) = x cdot 2ln(x) = 2x ln(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) = 2x ln(x) . Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que se temos uma função u(x) cdot v(x) , a derivada é u'(x)v(x) + u(x)v'(x) .
Aqui, u(x) = 2x e v(x) = ln(x) . Vamos derivar cada uma:
u'(x) = 2
v'(x) = 1x

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2 cdot ln(x) + 2x cdot 1x = 2 ln(x) + 2

Passo 5

Agora, queremos a inclinação da reta tangente no ponto x = e . Vamos substituir x = e na derivada para encontrar f'(e) :
f'(e) = 2 ln(e) + 2 = 2 cdot 1 + 2 = 4
(Sabemos que ln(e) = 1 porque a base do logaritmo natural é e .)

Passo 6

Com a inclinação m = 4 e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto (e, 2e) , podemos usar a equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 2e = 4(x - e)

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida:
y = 4x - 4e + 2e
y = 4x - 2e

Resposta

A reta tangente à função no ponto (e, 2e) é:
y = 4x - 2e

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