Encontre a reta tangente à função no ponto dado
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente à função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar inclinações de retas tangentes a curvas em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar as derivadas. Sabemos que
, então a função fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
. Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que se temos uma função
, a derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos derivar cada uma:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, queremos a inclinação da reta tangente no ponto
. Vamos substituir
na derivada para encontrar
:
(Sabemos que
porque a base do logaritmo natural é
.)
Passo 6
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para a forma mais conhecida:
Resposta
A reta tangente à função no ponto
é: