Calcule a função derivada das funções abaixo:
f(x)=(5 x)^{\ln (x)}, para x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (5x)^{\ln(x)},\quad x>0.
Como tanto a base (5x) quanto o expoente \ln(x) dependem de x, vamos usar diferenciação logarítmica: aplicar \ln em ambos os lados e depois derivar.

Passo 2

Definimos y = (5x)^{\ln(x)} e tomamos logaritmo em ambos os lados. Usando \ln(a^b)=b\ln(a), obtemos
\ln(y) = \ln(x)\,\ln(5x).

Passo 3

Para simplificar, escrevemos \ln(5x)=\ln(5)+\ln(x), logo
\ln(y) = \ln(5)\,\ln(x) + [\ln(x)]^2.
Derivando em relação a x e lembrando que \frac{d}{dx}\ln(y)=\frac{y'}{y}, vem
\frac{y'}{y} = \ln(5)\,\frac{1}{x} + 2\ln(x)\,\frac{1}{x} = \frac{\ln(5) + 2\ln(x)}{x}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y e substituindo y=(5x)^{\ln(x)}, resulta
y' = (5x)^{\ln(x)} \,\frac{\ln(5) + 2\ln(x)}{x}.

Resposta

f'(x) = (5x)^{\ln(x)} \,\frac{\ln(5) + 2\ln(x)}{x}.

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