Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{\left(x^{2}+2 x+1\right)}, \mathrm{em}\left(0, \frac{2}{\ln (2)}\right)

Passo 1

O enunciado nos fornece a função
f(x)=\frac{1}{\ln(2)}\cdot 2^{\bigl(x^2+2x+1\bigr)}
e pede a reta tangente no ponto \bigl(0,\tfrac{2}{\ln(2)}\bigr).
Vamos usar derivada de exponencial de base fixa com regra da cadeia, avaliar em x=0 e montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Definindo g(x)=x^2+2x+1, temos f(x)=\tfrac{1}{\ln(2)}\,2^{g(x)}. Pela regra da cadeia e derivada de a^u,
f'(x) =\frac{1}{\ln(2)}\cdot 2^{g(x)}\cdot \ln(2)\cdot g'(x) =2^{g(x)}\,g'(x).
Como g'(x)=2(x+1), obtemos
f'(x)=2^{(x+1)^2}\cdot 2(x+1).

Passo 3

Avaliar em x=0:
g(0)=(0+1)^2=1, \quad f'(0)=2^{1}\cdot 2\cdot(0+1)=4.
Além disso,
f(0)=\frac{1}{\ln(2)}\;2^{1}=\frac{2}{\ln(2)}.

Passo 4

A reta tangente em x=0 passa por \bigl(0,\tfrac{2}{\ln(2)}\bigr) e tem coeficiente angular f'(0)=4. Logo, a equação em forma ponto-declive é
y-\frac{2}{\ln(2)}=4\,(x-0)
e, rearranjando,
y=4x+\frac{2}{\ln(2)}.

Resposta

A reta tangente é
y=4x+\frac{2}{\ln(2)}.

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