Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x+1}, em (2,3)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função
\frac{x^3+1}{x+1}
no ponto (2,3).
O conteúdo envolvido é derivadas (coeficiente angular da reta) e uso de fatoração para simplificar a função antes de derivar.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função usando a fatoração da soma de cubos:
x^3+1 = (x+1)(x^2 - x + 1)
Logo, para x \neq -1,
f(x) = \frac{x^3+1}{x+1} = x^2 - x + 1.
Agora derivamos:
f'(x) = (x^2 - x + 1)' = 2x - 1.

Passo 3

Calculamos o coeficiente angular da reta tangente em x=2:
m = f'(2) = 2\cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3.

Passo 4

Usamos a forma ponto-reta ( y - y_0 = m(x - x_0)) com (x_0,y_0)=(2,3) e m=3:
y - 3 = 3(x - 2).
Desenvolvendo,
y = 3x - 6 + 3 = 3x - 3.

Resposta

A reta tangente é
y = 3x - 3.

Exercícios relacionados