( 0,3 \mathrm{pts} ) Calcule a reta tangente ao gráfico da função f(x)=\operatorname{senh}(\ln (x)) que é paralela ao eixo das abscissas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{sinh}\bigl(\ln(x)\bigr),
com domínio x>0, e pede a reta tangente paralela ao eixo das abscissas (isto é, uma tangente horizontal). Para isso, precisamos calcular a derivada f'(x) e ver onde ela se anula.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia. Seja
h(u)=\operatorname{sinh}(u), \quad g(x)=\ln(x).
Então h'(u)=\operatorname{cosh}(u) e g'(x)=1/x. Logo
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) =\operatorname{cosh}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot\frac1x.

Passo 3

Procuramos as soluções de
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\operatorname{cosh}(\ln(x))}{x}=0.
Como x>0, o fator 1/x nunca anula. Resta
\operatorname{cosh}\bigl(\ln(x)\bigr)=0.
Mas sabemos que \operatorname{cosh}(u)\ge1 para todo u\in\mathbb{R}. Portanto não há x>0 que satisfaça \operatorname{cosh}(\ln(x))=0.

Passo 4

Concluímos que f'(x) nunca zera em (0,+\infty). Logo não existe ponto em que a reta tangente seja paralela ao eixo das abscissas.

Resposta

Não existe reta tangente a f(x)=\operatorname{sinh}(\ln(x)) paralela ao eixo das abscissas.

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