( 0,2 pts) Calcule a reta tangente à curva definida pela equação
\cos \left(y+x^{2}\right)=y-\frac{\pi}{2}
no ponto \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita
\cos\bigl(y + x^{2}\bigr)=y-\frac{\pi}{2}
no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia, e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x.
O lado esquerdo é \cos(y + x^{2}). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(y + x^{2})\bigr] = -\sin(y + x^{2})\;\frac{d}{dx}(y + x^{2}) = -\sin(y + x^{2})\bigl(y' + 2x\bigr),
onde y' = \tfrac{dy}{dx}.
O lado direito é y - \tfrac{\pi}{2}, cuja derivada é simplesmente
\frac{d}{dx}\bigl[y - \tfrac{\pi}{2}\bigr] = y'.

Passo 3

Igualando as derivadas:
-\sin(y + x^{2})\bigl(y' + 2x\bigr)=y'.
Expandindo e reunindo os termos com y':
-\sin(y + x^{2})\,y' - 2x\sin(y + x^{2}) = y' \quad\Longrightarrow\quad -\bigl[\sin(y + x^{2})+1\bigr]\,y' = 2x\sin(y + x^{2}).
Logo,
y' = -\frac{2x\sin(y + x^{2})}{\sin(y + x^{2})+1}.

Passo 4

No ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) temos y + x^{2}=\tfrac{\pi}{2}, logo \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Substituindo em y':
y'\Big|_{(0,\frac{\pi}{2})} = -\frac{2\cdot 0\cdot 1}{1+1} =0.
O coeficiente angular da reta tangente é m=0.

Passo 5

Usamos a forma ponto-declive:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad y - \frac{\pi}{2} = 0\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\pi}{2}.

Resposta

A reta tangente é
y = \frac{\pi}{2}.

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