Calcule a função derivada das funções abaixo:
\left(\frac{1}{x}\right)^{x}, para x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x},\quad x>0.
O conteúdo envolvido é derivação de função onde tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos usar a técnica de diferenciação via logaritmo (log\mbox{-}diff).

Passo 2

Reescrevemos f(x) como exponencial para facilitar a derivação:
f(x)=e^{\,x\ln\!\bigl(\tfrac1x\bigr)}.
Como \ln\bigl(\tfrac1x\bigr)=-\ln x, definimos
g(x)=x\ln\!\bigl(\tfrac1x\bigr)=-x\ln x,
de modo que
f(x)=e^{g(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x) usando regra do produto:
g(x)=-x\ln x \quad\Longrightarrow\quad g'(x)=-\bigl(\ln x +1\bigr),
pois \tfrac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x+1.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia em f(x)=e^{g(x)}:
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x) =e^{-x\ln x}\,\bigl(-(\ln x+1)\bigr).

Passo 5

Voltando à forma original, e^{-x\ln x}=(1/x)^x. Logo,
f'(x)=-\bigl(\ln x+1\bigr)\,\Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{x}.

Resposta

f'(x)=-\bigl(\ln x+1\bigr)\,\Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{x},\quad x>0.

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