Calcule a função derivada das funções abaixo:
\left(\frac{1}{x}\right)^{x}, para
\left(\frac{1}{x}\right)^{x}, para
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
O conteúdo envolvido é derivação de função onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. Vamos usar a técnica de diferenciação via logaritmo (log\mbox{-}diff).
Passo 2
Reescrevemos
como exponencial para facilitar a derivação:
Como
, definimos
de modo que
Passo 3
Calculamos a derivada de
usando regra do produto:
pois
.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia em
:
Passo 5
Voltando à forma original,
. Logo,