Determine a solução geral explícita da EDO separável
\frac{d y}{d x}=\frac{(5 x+4) y^{2}}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO separável
\frac{dy}{dx} = \frac{(5x+4)\,y^{2}}{x^{2}+x-2}.
O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis: vamos separar as variáveis y e x, integrar cada lado e depois isolar y.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{1}{y^{2}}\,dy = \frac{5x+4}{x^{2}+x-2}\,dx.

Passo 3

Fatore o denominador do lado direito:
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1),
e faça frações parciais em
\frac{5x+4}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}.

Passo 4

Determine A e B resolvendo
5x+4 = A(x-1) + B(x+2).
Comparando coeficientes resulta
A + B = 5,\quad -A + 2B = 4
de onde B=3 e A=2. Logo
\frac{5x+4}{(x+2)(x-1)} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy \;=\;\int\Bigl(\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x-1}\Bigr)\,dx.
O lado esquerdo dá
\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y},
e o direito
\int\frac{2}{x+2}\,dx + \int\frac{3}{x-1}\,dx = 2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + C.
Portanto
-\frac{1}{y} = 2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + C.

Passo 6

Isolando y, temos
y(x) = -\frac{1}{\,2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + C\,},
onde C é a constante arbitrária de integração.

Resposta

\boxed{y(x) = -\frac{1}{\,2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + C\,},}
com C\in\mathbb{R}.

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