Resolva a equação diferencial abaixo e encontre y(x) na forma implícita.
3 x^{2} y+2 x y+6 x+y^{3}+\left(x^{3}+x^{2}+3 x y^{2}+3 y^{2}-2 y\right) \frac{d y}{d x}=0 .

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem e apresentar a solução na forma implícita. A equação está na forma
3x^{2}y \;+\;2xy\;+\;6x\;+\;y^{3} \;+\;\bigl(x^{3}+x^{2}+3xy^{2}+3y^{2}-2y\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0.
Para resolver utilizaremos o método de equações exatas. Identificamos
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+6x+y^{3}, \quad N(x,y)=x^{3}+x^{2}+3xy^{2}+3y^{2}-2y,
e verificamos se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Em caso afirmativo, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial\psi}{\partial y}=N,
e a solução geral é \psi(x,y)=C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}+2x+3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}+2x+3y^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) =\int\bigl(3x^{2}y+2xy+6x+y^{3}\bigr)\,dx = yx^{3}+yx^{2}+3x^{2}+xy^{3}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial\psi/\partial y=N, temos
\frac{\partial\psi}{\partial y} =x^{3}+x^{2}+3xy^{2}+h'(y) \stackrel!=x^{3}+x^{2}+3xy^{2}+3y^{2}-2y,
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h'(y)=3y^{2}-2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^{3}-y^{2}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, obtemos a solução implícita:
\psi(x,y) = yx^{3}+yx^{2}+3x^{2}+xy^{3}+y^{3}-y^{2}=C.

Resposta

yx^{3}+yx^{2}+3x^{2}+xy^{3}+y^{3}-y^{2}=C.

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