( 0,5 pts) Verifique a continuidade e a diferenciabilidade da função
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)-x & , \text { se } x<0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0 \\\\ -\frac{(\operatorname{sen}(x))^{2}}{x} & , \text { se } x>0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\begin{cases} x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-x,&x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ -\dfrac{\bigl(\sin x\bigr)^{2}}{x},&x>0, \end{cases}
e pede para verificar continuidade e diferenciabilidade. Vamos usar limites laterais em 0, o quociente diferencial em 0 e observar que cada ramo para x\neq0 é combinação de funções elementares diferenciáveis.

Passo 2

Testamos continuidade em x=0.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\bigl(x^{2}\sin(\tfrac{1}{x})-x\bigr) =\underbrace{\lim_{x\to0^-}x^{2}\sin(\tfrac{1}{x})}_{0} \;-\;\underbrace{\lim_{x\to0^-}x}_{0} =0.
O limite pela direita é
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\Bigl(-\frac{\sin^{2}x}{x}\Bigr) =-\lim_{x\to0^+}\frac{x^{2}+o(x^{2})}{x} =-\lim_{x\to0^+}\bigl(x+o(x)\bigr) =0.
Como ambos os limites valem 0=f(0), f é contínua em 0. Nos outros pontos, cada ramo é contínuo por ser composição de funções contínuas.

Passo 3

Agora diferenciabilidade em 0. Calculamos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}.
Para h<0:
\frac{f(h)}{h} =\frac{h^{2}\sin(\tfrac{1}{h})-h}{h} =h\sin(\tfrac{1}{h})-1 \;\xrightarrow[h\to0^-]{}\;-1.
Para h>0:
\frac{f(h)}{h} =\frac{-\sin^{2}h/h}{h} =-\frac{\sin^{2}h}{h^{2}} =-\Bigl(\frac{\sin h}{h}\Bigr)^{2} \;\xrightarrow[h\to0^+]{}\;-1.
Como ambos os lados dão -1, f'(0) existe e vale -1.

Passo 4

Para x\neq0, o ramo x^{2}\sin(1/x)-x (quando x<0) e o ramo -\sin^{2}x/x (quando x>0) são soma, produto e quociente de funções polinomiais e trigonométricas diferenciáveis em seu domínio. Logo, f é diferenciável em todo x\neq0.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R} e diferenciável em todo \mathbb{R}, com
f'(0)=-1.

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