e pede para verificar continuidade e diferenciabilidade. Vamos usar limites laterais em 0, o quociente diferencial em 0 e observar que cada ramo para x\neq0 é combinação de funções elementares diferenciáveis.
Passo 2
Testamos continuidade em x=0.
O limite pela esquerda é
Como ambos os lados dão -1, f'(0) existe e vale -1.
Passo 4
Para x\neq0, o ramo x^{2}\sin(1/x)-x (quando x<0) e o ramo -\sin^{2}x/x (quando x>0) são soma, produto e quociente de funções polinomiais e trigonométricas diferenciáveis em seu domínio. Logo, f é diferenciável em todo x\neq0.
Resposta
A função f é contínua em todo \mathbb{R} e diferenciável em todo \mathbb{R}, com