Calcule as funções inversas de cada uma das seguinte funções.
x=ln (t^2-2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a inversa da função
x = lnl(t^2-2r)
Matéria: função inversa e propriedades de logaritmo/exponencial. Vamos precisar descobrir o domínio, garantir injetividade (talvez restringir o domínio em dois ramos) e, em seguida, isolar t usando exponenciação e raiz quadrada.

Passo 2

Determinar o domínio de f(t)=ln(t^2-2):
Para ln(u) estar definido, precisa de u>0. Aqui u=t^2-2>0implies t^2>2implies |t|>raiz2.
Então o domínio é
(-infty,,-raiz2),cup,(raiz2,,infty)
Como ln(t^2-2) é par ( f(-t)=f(t)), não é injetora no domínio todo. Mas fica injetora em cada ramo isolado:
D1=(raiz2,infty)e D2=(-infty,-raiz2)

Passo 3

Agora isolamos t. Partimos de
x = ln(t^2-2)
Aplicando exponencial nos dois lados:
e^x = t^2 - 2 Longrightarrow t^2 = e^x + 2 Longrightarrow t = pmraiz,e^x + 2,

Passo 4

Escolhemos o sinal conforme o ramo:
  • Em D1=(raiz2,infty), t>0, então
t = raize^x + 2
  • Em D2=(-infty,-raiz2), t<0, então
t = -raize^x + 2

Resposta

As inversas ficam:
f1^-1(x)=raize^x+2, xin R (para t>raiz2),
f2^-1(x)=-raize^x+2, xin R (para t<-raiz2)

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