Calcule o limite, se existir:
lim x -4(14+1x(4+x))

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto -4l(tfrac14 + tfrac1x(4+x)r)
Perceba que em x=-4 o segundo termo tem denominador zero, então é preciso estudar o comportamento da função próxima a esse ponto para ver se o limite existe.

Passo 2

Vamos somar os dois termos num único quociente. Usando denominador comum 4x(x+4), temos
tfrac14 + tfrac1x(x+4) = x(x+4) + 44,x(x+4)
No numerador x(x+4)+4 = x^2+4x+4 = (x+2)^2. Logo a função pode ser escrita como
f(x) = (x+2)^24,x(x+4)

Passo 3

Quando xto -4, o numerador (x+2)^2to 4>0. Logo o sinal de f(x) é determinado por 4,x(x+4).
  1. Para xto -4^-: temos x< -4 (logo x<0) e (x+4)<0, então x(x+4)>0 e f(x)to +infty.
  2. Para xto -4^+: temos -4<x<0 (logo x<0) e (x+4)>0, então x(x+4)<0 e f(x)to -infty.

Passo 4

Como os limites laterais não são iguais ( +infty e -infty), o limite geral
limxto -4l(tfrac14 + tfrac1x(4+x)r)
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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