Calcule:
(a)
(g)
(b)
(h)
(c)
(i)
(d)
(j)
(e)
(k)
(f)
(l)
.
(a)
(g)
(b)
(h)
(c)
(i)
(d)
(j)
(e)
(k)
(f)
(l)
Passo 1
O enunciado pede doze integrais distintas. Vamos usar principalmente:
- substituição
quando aparecer multiplicando a parte principal; - identidade trigonométrica
; - frações parciais para funções racionais;
- fórmula padrão
Passo 2
Integrais do tipo
:
(a)
Defina ,
.
Defina
(h)
Defina ,
então
.
Defina
(i)
integral sin xcos(cos x),dx
Definau=cos x ,
du=-sin x,dx .
Defina
(j)
integral raizcos(3t),sin(3t),dt
Definau=cos(3t) ,
du=-3sin(3t),dt então
sin(3t),dt=-tfracdu3 .
Defina
(k)
integral(2x+1)e^x^2e^x,dx
Note quex^2+x tem derivada
2x+1 .
Definau=x^2+x ,
du=(2x+1),dx .
Note que
Defina
Passo 3
Funções racionais e potências:
(b)
integral e^t1+e^2t,dt
Definau=e^t ,
du=e^t,dt .
Defina
(c)
integral 1raizx+1,dx
Definau=raizx ,
x=u^2 ,
dx=2u,du .
Defina
(d)
integral sin^2theta,dtheta
Usesin^2theta=1-cos2theta2 :
Use
(e)
integral 1y^2+6y+8,dy
Fatorey^2+6y+8=(y+2)(y+4) e decomponha:
Fatore
Logo
(f)
integral xx^2+6x+10,dx
Complete o quadrado:x^2+6x+10=(x+3)^2+1 . Defina
u=x+3 ,
du=dx ,
x=u-3 :
Complete o quadrado:
(l)
integral raiz1+raizx,dx
Definau=raizx ,
dx=2u,du . Seja
v=1+u ,
du=dv ,
u=v-1 :
Defina
Passo 4
(g)
integral e^3zcos(2z),dz
Use a fórmula coma=3 ,
b=2 :
Use a fórmula com
Resposta
(a)
e^sin x+C
(b)arctan(e^t)+C
(c)2raizx-2ln(raizx+1)+C
(d)tfractheta2-tfrac14sin(2theta)+C
(e)tfrac12ln!l|tfracy+2y+4r|+C
(f)tfrac12ln(x^2+6x+10)-3arctan(x+3)+C
(g)tfrace^3z13l(3cos(2z)+2sin(2z)r)+C
(h)-tfrac14lnl|cos(x^4)r|+C
(i)-sin(cos x)+C
(j)-tfrac29cos^3/2(3t)+C
(k)e^x^2+x+C
(l)tfrac45(1+raizx)^5/2-tfrac43(1+raizx)^3/2+C
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)