Dada a função , responda cada um dos itens justificando sua resposta: é contínua nos pontos sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se é contínua nos pontos tais que (a circunferência de raio 1 centrada na origem). O conteúdo que vamos usar é a continuidade de funções elementares (polinômios, valor absoluto e raiz quadrada) e a regra de composição de funções contínuas.
Passo 2
Note que, para todo , temos
Ou seja, f(x,y)=l|,x^2+y^2-1r|.
Passo 3
Sabemos que
A função (x,y)mapsto x^2+y^2-1 é um polinômio em x,y, logo contínua em R^2.
A função umapsto|u| é contínua em R.
A composição de funções contínuas é contínua.
Portanto, f(x,y)=|,x^2+y^2-1| é contínua em todo R^2.
Passo 4
Em particular, todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1 estão no domínio onde f é contínua. Logo, f é contínua nesses pontos.
Resposta
Sim, f é contínua em todos os pontos (x,y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem.