Dada a função f(x, y)=raiz(x^2+y^2-1)^2, responda cada um dos itens justificando sua resposta:
f é contínua nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=raizl(x^2+y^2-1r)^2
e pergunta se f é contínua nos pontos (x,y) tais que x^2+y^2=1 (a circunferência de raio 1 centrada na origem). O conteúdo que vamos usar é a continuidade de funções elementares (polinômios, valor absoluto e raiz quadrada) e a regra de composição de funções contínuas.

Passo 2

Note que, para todo (x,y)inR^2, temos
raizl(x^2+y^2-1r)^2 =l|,x^2+y^2-1r|
Ou seja, f(x,y)=l|,x^2+y^2-1r|.

Passo 3

Sabemos que
  1. A função (x,y)mapsto x^2+y^2-1 é um polinômio em x,y, logo contínua em R^2.
  2. A função umapsto|u| é contínua em R.
  3. A composição de funções contínuas é contínua.
Portanto, f(x,y)=|,x^2+y^2-1| é contínua em todo R^2.

Passo 4

Em particular, todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1 estão no domínio onde f é contínua. Logo, f é contínua nesses pontos.

Resposta

Sim, f é contínua em todos os pontos (x,y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem.

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