Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
Encontre e classifique todos os extremos locais de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2-2xy+2y^2
e pede para encontrar e classificar todos os extremos locais.
O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e análise da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.
partial fpartial x=2x-2y, partial fpartial y=-2x+4y
Igualando a zero:
2x-2y=0Longrightarrow x=y,
-2x+4y=0Longrightarrow x=2y
Das duas equações tiramos y=0 e, então, x=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar esse ponto usamos a matriz Hessiana de f:
H(x,y) = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x,partial y partial^2 fpartial y,partial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & -2 -2 & 4
Como H é constante, basta avaliar no ponto crítico.

Passo 4

Checamos os menores principais de H:
D1=2>0, D2=det2 & -2 -2 & 4 =2cdot4-(-2)cdot(-2)=8-4=4>0
Ambos os menores principais são positivos, o que implica que H é definida positiva. Portanto (0,0) é um ponto de mínimo local.

Resposta

O único extremo local de f é um mínimo em (0,0), com valor f(0,0)=0.

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