Determine as interseções da reta x-raiz3 y+4=0 com a circunferência x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a reta x - raiz3 y + 4 = 0 intercepta a circunferência x^2 + y^2 = 16 . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente de interseção entre retas e círculos. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra, substituição de variáveis e resolver equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na equação da reta para facilitar a substituição. Vamos isolar x :
x - raiz3 y + 4 = 0
x = raiz3 y - 4

Passo 3

Agora que temos x em termos de y , vamos substituir essa expressão na equação da circunferência:
(raiz3 y - 4)^2 + y^2 = 16

Passo 4

Vamos expandir o termo (raiz3 y - 4)^2 :
(raiz3 y)^2 - 2 times raiz3 y times 4 + 4^2 + y^2 = 16
3y^2 - 8raiz3 y + 16 + y^2 = 16

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
3y^2 + y^2 - 8raiz3 y + 16 = 16
4y^2 - 8raiz3 y + 16 = 16

Passo 6

Subtraia 16 de ambos os lados para simplificar a equação:
4y^2 - 8raiz3 y = 0

Passo 7

Fatorando y da equação:
y (4y - 8raiz3) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis para y :
  1. y = 0
  2. 4y - 8raiz3 = 0 y = 2raiz3

Passo 8

Vamos encontrar os valores correspondentes de x usando a expressão x = raiz3 y - 4 :
  1. Para y = 0 :
x = raiz3(0) - 4 = -4
Então, um ponto de interseção é (-4, 0) .
  1. Para y = 2raiz3 :
x = raiz3(2raiz3) - 4 = 6 - 4 = 2
Então, outro ponto de interseção é (2, 2raiz3) .

Resposta

As interseções entre a reta x - raiz3 y + 4 = 0 e a circunferência x^2 + y^2 = 16 são os pontos (-4, 0) e (2, 2raiz3) .

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