Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
Determine o valor máximo de f sobre o conjunto D=(x,y) in R^2 ; x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo de
f(x,y)=x^2-2xy+2y^2
sujeito à restrição ,x^2+y^2=1.
O conteúdo principal aqui é formas quadráticas e autovalores de matrizes simétricas: sabemos que, em uma esfera (ou círculo) unitária, o máximo do quadrático X^TAX é o maior autovalor de A.

Passo 2

Escrevemos como forma quadrática
Aqui é simétrica, logo tem autovalores reais e ortonormais.

Passo 3

Para uma matriz simétrica A, o valor máximo de X^TAX com X variando no círculo unitário |X|=1 é exatamente o maior autovalor de A.

Passo 4

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & -1-1 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-1 =lambda^2-3lambda+1
As raízes são
lambda1,2 =3pmraiz9-42 =3pmraiz52

Passo 5

O maior autovalor é
lambdamax =3+raiz52,
que é, portanto, o valor máximo de f sobre o círculo unitário.

Resposta

3+raiz52

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