Considere a função
.
Determine o valor máximo de
sobre o conjunto
.
Determine o valor máximo de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo de
sujeito à restrição
.
O conteúdo principal aqui é formas quadráticas e autovalores de matrizes simétricas: sabemos que, em uma esfera (ou círculo) unitária, o máximo do quadrático é o maior autovalor de
.
O conteúdo principal aqui é formas quadráticas e autovalores de matrizes simétricas: sabemos que, em uma esfera (ou círculo) unitária, o máximo do quadrático
Passo 2
Escrevemos
como forma quadrática
Aqui
é simétrica, logo tem autovalores reais e ortonormais.
Passo 3
Para uma matriz simétrica
, o valor máximo de
com
variando no círculo unitário
é exatamente o maior autovalor de
.
Passo 4
Calculamos o polinômio característico de
:
As raízes são
Passo 5
O maior autovalor é
que é, portanto, o valor máximo de
sobre o círculo unitário.