O potencial de Lennard-Jones, que descreve a interação entre dois átomos neutros e polarizáveis, é dado pela função
de regra
onde
é a distância entre os átomos e
e
são duas constantes que dependem dos átomos e devem ser determinadas experimentalmente.
(a) Encontre o ponto
em que a função
toma seu valor mínimo.
(b) Encontre a melhor aproximação quadrática de
na vizinhança de
.
(c) No plano
, esboce a curva
.
(a) Encontre o ponto
(b) Encontre a melhor aproximação quadrática de
(c) No plano
Passo 1
O enunciado apresenta o potencial de Lennard‐Jones
definido para
. Precisamos:
– (a) encontrar o ponto onde
é mínimo;
– (b) obter a aproximação quadrática de em torno de
(i.e.\ Taylor de 2º grau);
– (c) esboçar a curva .
– (a) encontrar o ponto
– (b) obter a aproximação quadrática de
– (c) esboçar a curva
Passo 2
Para achar
fazemos
. Primeiro,
Igualando a zero e fatorando
,
Passo 3
Para a aproximação quadrática precisamos de
e de
.
- Calculando
:
- Calculando
e avaliando em :
Em
, usa-se
para obter
Passo 4
A expansão de Taylor de 2º grau em torno de
é
Substituindo os valores achados,
Passo 5
O esboço de
tem as características:
– quando
(termo
domina).
– Um poço de potencial mínimo em com
.
– Para ,
(o termo
decai mais lento).
–
– Um poço de potencial mínimo em
– Para
Assim, a curva inicia em
, desce rapidamente, atinge o valor mínimo
em
e depois sobe suavemente tendendo a zero pelo lado negativo.
Resposta
(a)
(b)
(b)
(c)
diverge para
em
, tem um poço em
e tende a zero negativa em
.