O potencial de Lennard-Jones, que descreve a interação entre dois átomos neutros e polarizáveis, é dado pela função U:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} de regra
U(x)=A\left[\left(\frac{B}{x}\right)^{12}-\left(\frac{B}{x}\right)^{6}\right],
onde x é a distância entre os átomos e A e B são duas constantes que dependem dos átomos e devem ser determinadas experimentalmente.
(a) Encontre o ponto x_{0} em que a função U toma seu valor mínimo.
(b) Encontre a melhor aproximação quadrática de U na vizinhança de x_{0}.
(c) No plano x y, esboce a curva y=U(x).

Passo 1

O enunciado apresenta o potencial de Lennard‐Jones
U(x)=A\Bigl[\bigl(\tfrac{B}{x}\bigr)^{12}-\bigl(\tfrac{B}{x}\bigr)^{6}\Bigr],
definido para x>0. Precisamos:
– (a) encontrar o ponto x_{0} onde U é mínimo;
– (b) obter a aproximação quadrática de U em torno de x_{0} (i.e.\ Taylor de 2º grau);
– (c) esboçar a curva y=U(x).

Passo 2

Para achar x_{0} fazemos U'(x)=0. Primeiro,
U'(x) = A\Bigl[-12\,\frac{B^{12}}{x^{13}} \;+\;6\,\frac{B^{6}}{x^{7}}\Bigr].
Igualando a zero e fatorando 6B^{6}/x^{13},
0=6A\,\frac{B^{6}}{x^{13}}\Bigl(-2\,B^{6}+x^{6}\Bigr) \;\Longrightarrow\; x^{6}=2\,B^{6} \;\Longrightarrow\; x_{0}=B\,2^{1/6}.

Passo 3

Para a aproximação quadrática precisamos de U(x_{0}) e de U''(x_{0}).
  1. Calculando U(x_{0}):
U(x_{0}) = A\Bigl[\bigl(\tfrac{B}{B2^{1/6}}\bigr)^{12} -\bigl(\tfrac{B}{B2^{1/6}}\bigr)^{6}\Bigr] = A\bigl[2^{-2}-2^{-1}\bigr] = A\bigl(\tfrac14-\tfrac12\bigr) = -\tfrac{A}{4}.
  1. Calculando U''(x) e avaliando em x_{0}:
U''(x) = A\Bigl[156\,\frac{B^{12}}{x^{14}} -42\,\frac{B^{6}}{x^{8}}\Bigr].
Em x_{0}=B2^{1/6}, usa-se x_{0}^{6}=2B^{6} para obter
U''(x_{0}) = 36\,A\,\frac{B^{6}}{x_{0}^{8}} = \frac{36\,A}{B^{10}\,2^{4/3}}.

Passo 4

A expansão de Taylor de 2º grau em torno de x_{0} é
U(x)\approx U(x_{0}) +\tfrac12\,U''(x_{0})\,(x-x_{0})^{2}.
Substituindo os valores achados,
U(x)\approx -\frac{A}{4} +\frac12\cdot\frac{36A}{B^{10}2^{4/3}}\,(x-B2^{1/6})^{2} = -\frac{A}{4} +\frac{18A}{B^{10}2^{4/3}}\,(x-B2^{1/6})^{2}.

Passo 5

O esboço de y=U(x) tem as características:
U(x)\to +\infty quando x\to0^+ (termo (B/x)^{12} domina).
– Um poço de potencial mínimo em x_{0}=B2^{1/6} com U(x_{0})=-A/4.
– Para x\to+\infty, U(x)\to0^- (o termo (B/x)^{6} decai mais lento).
Assim, a curva inicia em +\infty, desce rapidamente, atinge o valor mínimo -A/4 em x_{0} e depois sobe suavemente tendendo a zero pelo lado negativo.

Resposta

(a) x_{0}=B\,2^{1/6}.
(b)
U(x)\approx -\frac{A}{4} +\frac{18A}{B^{10}\,2^{4/3}}\,(x-B2^{1/6})^{2}.
(c) U(x) diverge para +\infty em x\to0^+, tem um poço em (x_{0},-A/4) e tende a zero negativa em x\to\infty.

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