Calcule g^{\prime}(x) para cada função dada:
g(x)=\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá
g(x)=\int_{0}^{x}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar integrais com limite superior dependente de x.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo na forma com mudança de variável afirma que, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

No nosso caso, u(x)=x e f(t)=\cos(t^{2}). Assim, u'(x)=1 e
f\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Logo, aplicando o teorema,

Resposta

g'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).

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