Exresse as integrais abaixo como limite de somas de Riemann.
\int_{1}^{4} \ln x dx

Passo 1

O enunciado pede expressar
\int_{1}^{4} \ln x \, dx
como limite de somas de Riemann. Para isso, vamos usar a definição de partição uniforme de um intervalo e a construção da soma de Riemann.

Passo 2

Seja n\in\mathbb{N} e considere a partição uniforme de [1,4] em n subintervalos de mesmo comprimento
\Delta x = \frac{4 - 1}{n} = \frac{3}{n}.
Escolhemos como ponto de amostragem em cada subintervalo o extremo direito
x_i = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{3i}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada à função f(x)=\ln x com esses pontos à direita é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \ln\!\bigl(x_i\bigr)\,\frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{3i}{n}\Bigr)\,\frac{3}{n}.

Passo 4

Tomando o limite de S_n quando n\to\infty, obtemos a integral desejada:
\int_{1}^{4} \ln x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{3i}{n}\Bigr)\,\frac{3}{n}.

Resposta

\int_{1}^{4} \ln x \, dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{3i}{n}\Bigr)\,\frac{3}{n}.

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