Calcule g^{\prime}(x) para cada função dada:
g(x)=\int_{x}^{2 x} \sin \left(e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{x}^{2x}\sin\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo aqui é a derivada de uma integral com limites que dependem de x. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) em conjunto com a regra de Leibniz.

Passo 2

Pela regra de Leibniz para derivar uma integral com limites variáveis, temos
g'(x) =\sin\bigl(e^{2x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(2x) -\sin\bigl(e^{x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
\frac{d}{dx}(2x)=2 \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 4

Substituindo esses valores em g'(x), obtemos
g'(x) =2\sin\bigl(e^{2x}\bigr) -1\cdot\sin\bigl(e^{x}\bigr) =2\sin\bigl(e^{2x}\bigr)-\sin\bigl(e^{x}\bigr).

Resposta

g'(x)=2\sin\bigl(e^{2x}\bigr)-\sin\bigl(e^{x}\bigr)

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