Exresse as integrais abaixo como limite de somas de Riemann.
\int_{5}^{7} dx

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\int_{5}^{7}dx
como limite de somas de Riemann. O conteúdo é a definição de integral definida via particionamento do intervalo e somas de Riemann, e precisaremos escolher uma partição de [5,7] e pontos de amostra.

Passo 2

Dividimos [5,7] em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{7-5}{n} = \frac{2}{n}.
Em cada subintervalo escolhemos um ponto de amostra x_i^*. Por simplicidade, podemos usar o extremo direito de cada subintervalo:
x_i = 5 + i\,\Delta x = 5 + i\frac{2}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A função a integrar é f(x)=1. A soma de Riemann associada é
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x \;=\;\sum_{i=1}^{n}1\cdot\frac{2}{n} \;=\;\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}
e tomando o limite quando n\to\infty obtemos a integral:
\int_{5}^{7}dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}.

Passo 4

Para verificar, note que
\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n} = n\cdot\frac{2}{n} = 2
e logo
\int_{5}^{7}dx = 2.

Resposta

\int_{5}^{7}dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}1\cdot\frac{2}{n}.

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