Calcule g^{\prime}(x) para cada função dada:
g(x)=\int_{\operatorname{arccos} x}^{x} \sin (\cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{\operatorname{arccos} x}^{\,x}\sin\bigl(\cos t\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para derivar uma integral com limites que dependem de x, além de usar a derivada de \operatorname{arccos} x.

Passo 2

Pela regra de Leibniz, se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

No nosso caso
a(x)=\operatorname{arccos} x,\quad b(x)=x,\quad f(t)=\sin\bigl(\cos t\bigr).
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b'(x)=1, \qquad a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Aplicando a fórmula,
g'(x) =\sin\bigl(\cos(x)\bigr)\cdot1 \;-\;\sin\bigl(\cos(\operatorname{arccos} x)\bigr)\,\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr).

Passo 4

Observe que \cos(\operatorname{arccos} x)=x, então \sin(\cos(\operatorname{arccos} x))=\sin(x). Substituindo,
g'(x) =\sin\bigl(\cos x\bigr) \;+\;\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

g'(x)=\sin\bigl(\cos x\bigr)+\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-x^2}}.

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