Calcule g^{\prime}(x) para cada função dada:
g(x)=\int_{3}^{\sqrt{x}} \tan \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{3}^{\sqrt{x}}\tan\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de integral com limite variável) junto com a regra da cadeia, pois o limite superior é u(x)=\sqrt{x}, uma função de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui temos f(t)=\tan\bigl(t^{2}\bigr) e u(x)=\sqrt{x}.

Passo 3

Calculamos u'(x) e avaliamos f em u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
f\bigl(u(x)\bigr)=\tan\bigl((\sqrt{x})^{2}\bigr)=\tan(x).
Logo,
g'(x)=\tan(x)\,\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\tan(x)}{2\sqrt{x}}.

Resposta

g'(x)=\frac{\tan(x)}{2\sqrt{x}}.

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