Calcule g^prime(x) onde
g(x)=integralcos x^sen x e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=integralcos x^sin x e^t^2,dt.
O conteúdo aqui é derivada de integral com limites dependentes de x, usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar, lembramos que se
G(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt, então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x).

Passo 3

Aqui temos:
a(x)=cos x então a'(x)=-sin x,
b(x)=sin x então b'(x)=cos x,
e f(t)=e^t^2.
Substituindo na fórmula:
g'(x)=e^(sin x)^2cdotcos x - e^(cos x)^2cdot(-sin x).

Passo 4

Basta simplificar o sinal:
g'(x)=cos x,e^sin^2 x + sin x,e^cos^2 x.

Resposta

g'(x)=cos x,e^sin^2 x + sin x,e^cos^2 x

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