Calcule as seguintes integrais:
5)
5)
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
. Esse problema envolve o método de substituição em integrais, pois temos uma composição de funções que pode ser simplificada trocando de variável.
Passo 2
Para simplificar, definimos a substituição
. Assim,
e derivando ambos os lados temos
.
Passo 3
Substituindo em
, reescrevemos a integral:
$$
\int \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx
\int \frac{\sec^2(u)}{u} \cdot 2u,du
\int 2 \sec^2(u),du
$$
Passo 4
Agora basta integrar
. Como a primitiva de
é
, temos:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a substituição inversa
para expressar a primitiva em função de
.
Assim, a solução final é: