Calcule as seguintes integrais:
5)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral sec^2(raizx)raizx dx. Esse problema envolve o método de substituição em integrais, pois temos uma composição de funções que pode ser simplificada trocando de variável.

Passo 2

Para simplificar, definimos a substituição u = raizx. Assim, x = u^2 e derivando ambos os lados temos dx = 2u,du.

Passo 3

Substituindo em u, reescrevemos a integral:
$$
\int \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx

\int \frac{\sec^2(u)}{u} \cdot 2u,du

\int 2 \sec^2(u),du
$$

Passo 4

Agora basta integrar 2sec^2(u). Como a primitiva de sec^2(u) é tan(u), temos:
integral 2 sec^2(u),du = 2 tan(u) + C

Passo 5

Finalmente, aplicamos a substituição inversa u = raizx para expressar a primitiva em função de x.
Assim, a solução final é:
integral sec^2(raizx)raizx dx = 2 tan(raizx) + C

Resposta

2 tan(raizx) + C

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