Questão 5. Calcule as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é integração imprópria de funções oscilatórias e a teoria de integrais de Fresnel, que se resolvem usando extensões da integral gaussiana e a função gama.
Passo 2
Para lidar com
reconhecemos que ela não tem primitiva elementar. Em vez disso, usamos a relação com a parte imaginária da exponencial complexa:
. Definimos então
e sabemos, por contorno ou fórmula da função gama, que
Fazendo a rotação de
no plano complexo para
, obtém-se
Passo 3
Como queremos apenas a parte imaginária de
, usamos
Extraindo a parte imaginária de
temos
Mas note que faltou um fator
na rotação completa, o que dá o resultado final abaixo.
Passo 4
Fazendo a conta corretamente, o valor fica