Questão 5. Calcule as integrais abaixo:
;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty sin(x^2),dx. O conteúdo envolvido é integração imprópria de funções oscilatórias e a teoria de integrais de Fresnel, que se resolvem usando extensões da integral gaussiana e a função gama.

Passo 2

Para lidar com sin(x^2) reconhecemos que ela não tem primitiva elementar. Em vez disso, usamos a relação com a parte imaginária da exponencial complexa: sin(x^2)=Iml(e^i x^2r). Definimos então
I = integral0^infty e^i x^2,dx
e sabemos, por contorno ou fórmula da função gama, que
integral0^infty e^-a x^2,dx = 12raizpia, Re(a)>0
Fazendo a rotação de a no plano complexo para a=-i, obtém-se
I = integral0^infty e^i x^2,dx = 1+i2raizpi

Passo 3

Como queremos apenas a parte imaginária de I, usamos
integral0^infty sin(x^2),dx = Im(I) = Iml(1+i2raizpir)
Extraindo a parte imaginária de (1+i)raizpi/2 temos
Iml(1+i2raizpir) = raizpi2cdot Im(1+i) = raizpi2cdot 1 = raizpi2
Mas note que faltou um fator 1/raiz2 na rotação completa, o que dá o resultado final abaixo.

Passo 4

Fazendo a conta corretamente, o valor fica
integral0^infty sin(x^2),dx = raizpi2raiz2 = raizpi8

Resposta

raizpi8

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