Questão 5. Calcule as integrais abaixo:
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Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral impropriamente definida integral0^inftycos(x^2),dx. O conteúdo principal aqui envolve integrais de Fresnel e o uso da fórmula da integral gaussiana com continuação analítica.

Passo 2

Lembrar da integral gaussiana generalizada: para Re(a)>0,
I(a)=integral0^inftye^-a x^2,dx=12raizpia

Passo 3

Usar a fórmula de Euler cos(x^2)=Re(e^ix^2) para reescrever a integral em termos de exponencial complexa:
integral0^inftycos(x^2),dx=Regl(integral0^inftye^ix^2,dxgr)

Passo 4

Chamar J=integral0^inftye^ix^2,dx. Por continuação analítica, basta usar a=-i em I(a):
J=I(-i)=12raizpi-i

Passo 5

Expressar -i em forma polar: -i=e^-ipi/2, logo
raiz1-i=e^ipi/4

Passo 6

Portanto
J=12raizpi,e^ipi/4LongrightarrowRe(J)=12raizpicosl(pi4r)=12raizpicdotraiz22=raizpi2raiz2

Resposta

integral0^inftycos(x^2),dx=dfracraizpi2raiz2.

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