Calcule g^prime(x) onde:
g(x)=integralcos x^sin x e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de x. O conteúdo aqui é a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis, e vamos precisar saber como diferenciar ∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt em função de a(x), b(x) e f(t).

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que se g(x)=∫_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt, então
g'(x)=f(v(x)),v'(x)-f(u(x)),u'(x)

Passo 3

No nosso caso temos u(x)= cos x, v(x)= sin x e f(t)= e^t^2. Calculamos as derivadas dos limites:
v'(x)=ddx(sin x)=cos x e u'(x)=ddx(cos x)=-sin x.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Leibniz:
$$g’(x)=e^{(\sin x)^2},\cos x ;-
e^{(\cos x)^2},(-\sin x).$$

Passo 5

Bastou distribuir o sinal negativo e combinar termos para chegar à forma final.

Resposta

g'(x)=cos x,e^sin^2 x+sin x,e^cos^2 x

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