Calcule
onde:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de x. O conteúdo aqui é a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis, e vamos precisar saber como diferenciar ∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt em função de a(x), b(x) e f(t).
Passo 2
A Regra de Leibniz diz que se g(x)=∫_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt, então
Passo 3
No nosso caso temos u(x)=
, v(x)=
e f(t)=
. Calculamos as derivadas dos limites:
e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula de Leibniz:
$$g’(x)=e^{(\sin x)^2},\cos x ;-
e^{(\cos x)^2},(-\sin x).$$
Passo 5
Bastou distribuir o sinal negativo e combinar termos para chegar à forma final.