Sejam f(x)=ll1x^2, & se x <=-1 2 t, & se -11 e F(x)=integral-infty^x f(t) d t. Esboce o gráfico de F(x).

Passo 1

O enunciado pede para construir a função acumulada
– chamada aqui de F(x) – a partir de f(t) dividida em três pedaços. O conteúdo principal é cálculo de integrais definidas (inclusive impróprias) e montagem de função por partes para esboçar o gráfico de F(x).

Passo 2

Para x ≤ −1, temos que
f(t)=1/t², então
F(x)=integral-infty^x1t^2,dt= l[-1tr]-infty^x=-1x-0=-1x
Aqui usamos uma integral imprópria em que -1/t tende a 0 quando t→−∞.

Passo 3

Para −1 < x ≤ 1, quebramos a integral em duas partes:
F(x)=integral-infty^-11t^2,dt+integral-1^x2t,dt
Já sabemos que a primeira parte vale 1. Na segunda:
integral-1^x2t,dt=[t^2]-1^x=x^2-1
Então
F(x)=1+(x^2-1)=x^2

Passo 4

Para x > 1, continuamos a partir de x=1:
F(x)=integral-infty^1f(t),dt+integral1^x2,dt
Note que integral-infty^1f(t)dt=F(1)=1. Em seguida:
integral1^x2,dt=2(x-1)
Logo
F(x)=1+2(x-1)=2x-1

Passo 5

Como checagem, F(x) é contínua em x=−1 e x=1: em x=−1 temos -1/−1=1 e em x=1 tanto x^2 quanto 2x-1 valem 1. Agora é só esboçar três trechos: uma hipérbole para x≤−1, a parábola x² entre −1 e 1 (que cai de 1 até 0 em x=0 e sobe de volta a 1) e a reta de coeficiente angular 2 para x>1.
No gráfico de F(x) vemos: aproxima-se de 0 quando x→−∞, cresce até 1 em x=−1, desce até 0 em x=0, sobe até 1 em x=1 e depois cresce linearmente com inclinação 2.

Resposta

A função acumulada F(x) fica:
F(x)= -dfrac1x,&x<=-1, x^2,&-11
No esboço, isso corresponde a:
  • Para x≤−1: ramo de hipérbole decrescente que tende a 0 em x→−∞ e vale 1 em x=−1.
  • Para −1<x≤1: arco de parábola x², com mínimo 0 em x=0 e valendo 1 nos extremos x=±1.
  • Para x>1: reta com inclinação 2 passando por (1,1).

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