Determine a solução geral de cada equação a seguir:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
x^2y''-x,y'+y=0, x>0
Para resolver, usamos o método da equação auxiliar assumindo uma solução do tipo
y=x^r

Passo 2

Supondo y=x^r, suas derivadas são
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1),x^r-2
Substituindo em
x^2y''-x,y'+y=0
vemos que
x^2l(r(r-1)x^r-2r);-;xl(r,x^r-1r);+;x^r =l[r(r-1)-r+1r]x^r=0

Passo 3

A equação característica vem de
r(r-1)-r+1=0
que simplifica para
r^2-2r+1=0
ou seja
(r-1)^2=0,
logo temos raiz dupla r=1.

Passo 4

Para raiz dupla r=1 a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
y=C1,x^r+C2,x^rln x
Substituindo r=1 obtemos
y=C1x+C2,xln x

Resposta

y=C1x+C2,xln x, C1,C2inR

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