Encontre o plano tangente a
no ponto (1,0,1).
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações fornecidas:
- A função que define a superfície é
. - O ponto onde queremos o plano tangente é
. - O objetivo é achar a equação do plano tangente a
em .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e mastigadas):
- Para uma superfície dada por
com diferenciável em , o plano tangente em é a aproximação linear de perto desse ponto. - A fórmula do plano tangente é
- Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : representa a inclinação da superfície quando se anda só na direção (ou seja, preso). -
é a derivada parcial de em relação a : representa a inclinação quando se anda só na direção (ou seja, preso).
-
- Para calcular
e toma-se a derivada normal em cada variável mantendo a outra constante. Vou mostrar isso no passo seguinte.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante.
Como
é constante quando derivamos em
, podemos puxá-la para fora:
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante.
Aqui
é constante, então:
Agora avaliaremos as derivadas em
:
Passo 4
Montar o plano tangente usando a fórmula do passo 2 e os valores calculados.
A fórmula:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passos de simplificação:
Passo 5
Verificações rápidas e interpretação:
- Conferir que o plano passa pelo ponto dado: substituindo
, na equação obtém-se , que é . OK. - Interpretação prática: perto de
a função é bem aproximada pela reta (plano) . Por exemplo, para estimar usa-se
Isso é a aplicação da aproximação linear — útil na prova quando pedem aproximações rápidas.
Força aí — você já tem a técnica: calcular parciais, avaliar no ponto e montar a fórmula do plano. Dá pra aplicar isso para qualquer superfície
.