Encontre o plano tangente a
z=x^{2} e^{y}
no ponto (1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=x^{2}e^{y} e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,0,1).
Informações fornecidas:
  • A função que define a superfície é f(x,y)=x^{2}e^{y}.
  • O ponto onde queremos o plano tangente é \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr)=(1,0,1).
  • O objetivo é achar a equação do plano tangente a z=f(x,y) em (1,0,1).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e mastigadas):
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y) com f diferenciável em (x_{0},y_{0}), o plano tangente em \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr) é a aproximação linear de f perto desse ponto.
  • A fórmula do plano tangente é
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr)+f_{y}(x_{0},y_{0})\bigl(y-y_{0}\bigr).
  • Aqui:
    • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x: representa a inclinação da superfície quando se anda só na direção x (ou seja, y preso).
    • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y: representa a inclinação quando se anda só na direção y (ou seja, x preso).
  • Para calcular f_{x} e f_{y} toma-se a derivada normal em cada variável mantendo a outra constante. Vou mostrar isso no passo seguinte.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}e^{y}.
Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante.
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y}\bigr).
Como e^{y} é constante quando derivamos em x, podemos puxá-la para fora:
f_{x}(x,y)=e^{y}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=e^{y}\cdot 2x=2x e^{y}.
Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante.
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}e^{y}\bigr).
Aqui x^{2} é constante, então:
f_{y}(x,y)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(e^{y}\bigr)=x^{2}e^{y}.
Agora avaliaremos as derivadas em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=(1,0):
f_{x}(1,0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2\cdot 1\cdot 1=2,
f_{y}(1,0)=1^{2}\cdot e^{0}=1\cdot 1=1.

Passo 4

Montar o plano tangente usando a fórmula do passo 2 e os valores calculados.
A fórmula:
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr)+f_{y}(x_{0},y_{0})\bigl(y-y_{0}\bigr).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=0, z_{0}=1, f_{x}(1,0)=2 e f_{y}(1,0)=1:
z-1=2\bigl(x-1\bigr)+1\bigl(y-0\bigr).
Passos de simplificação:
z-1=2x-2+y,
z=2x+y-2+1,
z=2x+y-1.

Passo 5

Verificações rápidas e interpretação:
  • Conferir que o plano passa pelo ponto dado: substituindo x=1, y=0 na equação z=2x+y-1 obtém-se z=2\cdot1+0-1=1, que é z_{0}. OK.
  • Interpretação prática: perto de (1,0) a função f(x,y) é bem aproximada pela reta (plano) z=2x+y-1. Por exemplo, para estimar f(1{,}1,0{,}05) usa-se
z_{\text{aprox}}=2\cdot 1{,}1 + 0{,}05 -1 = 2{,}2 + 0{,}05 -1 = 1{,}25.
Isso é a aplicação da aproximação linear — útil na prova quando pedem aproximações rápidas.
Força aí — você já tem a técnica: calcular parciais, avaliar no ponto e montar a fórmula do plano. Dá pra aplicar isso para qualquer superfície z=f(x,y).

Resposta

z=2x+y-1

Exercícios relacionados