Calcule o gradiente do campo escalar f(x, y, z)=3 x^2 raizy+cos (3 z).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar f(x,y,z)=3x^2raizy+cos(3z). Esse conteúdo é cálculo de derivadas parciais e uso da definição de gradiente, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção coordenada:
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a x. Como y e z são tratados como constantes,
partialpartial xl(3x^2raizyr) =3cdot 2xcdotraizy =6xraizy,
e a parte cos(3z) não depende de x, logo sua derivada parcial em x é zero. Assim,
partial fpartial x=6xraizy

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a y. Aqui x e z são constantes e usamos ddyraizy=12raizy:
partialpartial yl(3x^2raizyr) =3x^2cdot12raizy =3x^22raizy
De novo, cos(3z) não depende de y, então sua derivada parcial em y é zero. Logo,
partial fpartial y=3x^22raizy

Passo 4

Por fim, a derivada parcial em relação a z. Agora x e y são constantes e usamos a regra da cadeia em cos(3z):
ddzcos(3z) =-sin(3z)cdot 3 =-3sin(3z)
Como 3x^2raizy não depende de z, sua derivada parcial em z é zero, resultando em
partial fpartial z=-3sin(3z)

Passo 5

Juntando todas as componentes, temos o gradiente:
nabla f(x,y,z) =l(6xraizy,,3x^22raizy,,-3sin(3z)r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(6xraizy,,tfrac3x^22raizy,,-3sin(3z)r)

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