Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
4.37 d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = y^2.
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis, em que podemos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy^2 = dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral 1,dx
A integral de y^-2 em relação a y é -y^-1, e a de 1 em relação a x é x, ficando
-1y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos a família de soluções não-triviais:
y(x) = -1,x + C,
Se quisermos, podemos renomear a constante (por exemplo K=-C) e escrever
y(x) = 1,K - x,, KinR

Passo 5

Além dessa família, existe a solução singular y(x)=0, que também satisfaz dydx=y^2.

Resposta

As soluções gerais da equação dydx=y^2 são
y(x) = -1x + C(com (C) constante arbitrária) á
e a solução singular
y(x)=0

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