Considere a equação
t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0
Verifique que varphi1(t)=1+t e varphi2(t)=e^t são soluções l.i. da equação homogênea associada a equação acima.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de segunda ordem não homogênea
t,y''-(1+t),y'+y=t^2e^2t, t>0
e pede para verificar que as funções varphi1(t)=1+t e varphi2(t)=e^t são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada
t,y''-(1+t),y'+y=0
Para isso, vamos (i) mostrar que cada varphii satisfaz a homogênea e (ii) calcular o Wronskiano para checar a independência linear.

Passo 2

Verificação de varphi1(t)=1+t.
Calculamos
varphi1'(t)=1, varphi1''(t)=0
Substituindo na homogênea:
tcdot0;-;(1+t)cdot1;+;(1+t) =-(1+t)+(1+t)=0
Logo varphi1 é solução da equação homogênea.

Passo 3

Verificação de varphi2(t)=e^t.
Temos
varphi2'(t)=e^t, varphi2''(t)=e^t
Substituindo na homogênea:
t,e^t-(1+t),e^t+e^t =[t-(1+t)+1],e^t=(0),e^t=0
Portanto varphi2 também é solução da homogênea.

Passo 4

Cálculo do Wronskiano para checar independência linear:
W(varphi1,varphi2)(t) =det varphi1(t)&varphi2(t) varphi1'(t)&varphi2'(t) =det 1+t&e^t 1&e^t =(1+t)e^t-1cdot e^t=t,e^t
Como t>0 implica t,e^tneq0, temos que varphi1 e varphi2 são linearmente independentes.

Resposta

varphi1(t)=1+t e varphi2(t)=e^t satisfazem t,y''-(1+t),y'+y=0 e são l.i. pois o Wronskiano é W(t)=t,e^tneq0.

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