Considere a equação
Verifique que
e
são soluções l.i. da equação homogênea associada a equação acima.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear de segunda ordem não homogênea
e pede para verificar que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação homogênea associada
Para isso, vamos (i) mostrar que cada
satisfaz a homogênea e (ii) calcular o Wronskiano para checar a independência linear.
Passo 2
Verificação de
.
Calculamos
Calculamos
Substituindo na homogênea:
Logo
é solução da equação homogênea.
Passo 3
Verificação de
.
Temos
Temos
Substituindo na homogênea:
Portanto
também é solução da homogênea.
Passo 4
Cálculo do Wronskiano para checar independência linear:
Como
t>0 implica
t,e^tneq0 , temos que
varphi1 e
varphi2 são linearmente independentes.