Calcule o gradiente do campo escalar f(x, y, z)=sin (x) e^y ln (z).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar f(x,y,z)=sin(x)e^yln(z). O gradiente é definido por
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr),
e para cada derivada parcial vamos usar as regras de produto e de cadeia, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Calculamos partial fpartial x. Aqui sin(x) depende de x e e^yln(z) são constantes em relação a x, então
partial fpartial x = cos(x),e^yln(z)

Passo 3

Calculamos partial fpartial y. Agora e^y depende de y e sin(x)ln(z) são constantes, logo
partial fpartial y = sin(x),e^yln(z)

Passo 4

Calculamos partial fpartial z. Aqui ln(z) depende de z e sin(x)e^y são constantes, e a derivada de ln(z) é 1/z:
partial fpartial z = sin(x),e^y,1z = sin(x)e^yz

Passo 5

Reunindo as derivadas parciais, o gradiente fica
nabla f = l(cos(x)e^yln(z),;sin(x)e^yln(z),;sin(x)e^yzr)

Resposta

nabla f=(cos(x)e^yln(z),;sin(x)e^yln(z),;tfracsin(x)e^yz)

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