Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no pontc indicado.
r(t)=(t cos t, t sen t, t) ; P(0, pi / 2, pi / 2)

Passo 1

O enunciado dá a curva no espaço
vec r(t) = l(tcos t,;tsin t,;tr)
e pede dois vetores unitários tangentes ao hodógrafo no ponto
Pl(0,tfracpi2,tfracpi2r)
O conteúdo é derivada vetorial (velocidade) e normalização.

Passo 2

Primeiro achamos o parâmetro t0 que leva vec r(t0)=P. Isso exige resolver o sistema
t0cos t0 = 0, t0sin t0 = tfracpi2, t0 = tfracpi2
De t0=tfracpi2 obtemos cos(t0)=0 e sin(t0)=1, logo satisfaz as três equações.

Passo 3

Calculamos a derivada vetor
vec r,'(t) = l(cos t - tsin t,;sin t + tcos t,;1r)

Passo 4

Avaliando em t0=tfracpi2 surge
vec r,'l(tfracpi2r) = l(0 - tfracpi2cdot1,;1 + tfracpi2cdot0,;1r) = l(-tfracpi2,;1,;1r)

Passo 5

O módulo desse vetor é
l|vec r,'(tfracpi2)r| = raizl(-tfracpi2r)^2 + 1^2 + 1^2 = raiztfracpi^24 + 2

Passo 6

Os vetores unitários tangentes são os dois sentidos da velocidade normalizada:
pm vec r,'(tfracpi2)|vec r,'(tfracpi2)| = pm 1raiztfracpi^24+2, l(-tfracpi2,;1,;1r)

Resposta

vec upm = pm 1raiztfracpi^24+2, l(-tfracpi2,;1,;1r)

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