Calcule as seguintes integrais de linha: integralC^C(x+y) d s, onde C é a interseção das superfícies z=x^2+y^2 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha integralC^C(x+y) , ds. A questão pede para calcular a integral ao longo da curva C, que é a interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 4. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha em curvas no espaço tridimensional. Vamos precisar parametrizar a curva C, expressar x + y e ds em termos dessa parametrização e, então, calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva C. Temos duas superfícies:
  1. z = x^2 + y^2: Esta é uma paraboloide que abre para cima.
  2. z = 4: Esta é um plano horizontal a z = 4.
A interseção dessas duas superfícies ocorre quando x^2 + y^2 = 4. Isso representa um círculo no plano z = 4 com raio 2, já que x^2 + y^2 = 2^2.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar esse círculo. Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio [R) no plano é usar coordenadas polares. Então, podemos definir:
onde a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Com a parametrização, precisamos encontrar a expressão para ds, que é o diferencial do comprimento de arco. Para isso, calculamos a derivada do vetor posição em relação a t:
drdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (-2 sin t, 2 cos t, 0)
O comprimento do vetor derivada é:
| drdt | = raiz(-2 sin t)^2 + (2 cos t)^2 + 0^2 = raiz4 sin^2 t + 4 cos^2 t = raiz4 (sin^2 t + cos^2 t) = raiz4 cdot 1 = 2
Então, ds = | drdt | dt = 2 , dt.

Passo 5

Agora, substituímos x, y e ds na integral:
integralC^C (x + y) , ds = integral0^2pi (2 cos t + 2 sin t) cdot 2 , dt = 2 integral0^2pi (2 cos t + 2 sin t) , dt
Simplificando:
= 4 integral0^2pi (cos t + sin t) , dt

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
4 ( integral0^2pi cos t , dt + integral0^2pi sin t , dt )
Sabemos que:
integral cos t , dt = sin t + C integral sin t , dt = -cos t + C
Então:
4 ( [ sin t ]0^2pi + [ -cos t ]0^2pi ) = 4 ( (sin 2pi - sin 0) + (-cos 2pi + cos 0) )
Como sin 0 = 0, sin 2pi = 0, cos 0 = 1, e cos 2pi = 1, temos:
4 ( 0 + (-1 + 1) ) = 4 cdot 0 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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