Calcule as seguintes integrais de linha: , onde é a interseção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha . A questão pede para calcular a integral ao longo da curva , que é a interseção das superfícies e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha em curvas no espaço tridimensional. Vamos precisar parametrizar a curva , expressar e em termos dessa parametrização e, então, calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva . Temos duas superfícies:
: Esta é uma paraboloide que abre para cima.
: Esta é um plano horizontal a .
A interseção dessas duas superfícies ocorre quando . Isso representa um círculo no plano com raio , já que .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar esse círculo. Uma forma comum de parametrizar um círculo de raio [R) no plano é usar coordenadas polares. Então, podemos definir:
onde a para percorrer todo o círculo.
Passo 4
Com a parametrização, precisamos encontrar a expressão para ds, que é o diferencial do comprimento de arco. Para isso, calculamos a derivada do vetor posição em relação a t:
drdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (-2 sin t, 2 cos t, 0)
O comprimento do vetor derivada é:
| drdt | = raiz(-2 sin t)^2 + (2 cos t)^2 + 0^2 = raiz4 sin^2 t + 4 cos^2 t = raiz4 (sin^2 t + cos^2 t) = raiz4 cdot 1 = 2
Então, ds = | drdt | dt = 2 , dt.
Passo 5
Agora, substituímos x, y e ds na integral:
integralC^C (x + y) , ds = integral0^2pi (2 cos t + 2 sin t) cdot 2 , dt = 2 integral0^2pi (2 cos t + 2 sin t) , dt
Simplificando:
= 4 integral0^2pi (cos t + sin t) , dt
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
4 ( integral0^2pi cos t , dt + integral0^2pi sin t , dt )
Sabemos que:
integral cos t , dt = sin t + C integral sin t , dt = -cos t + C
Então:
4 ( [ sin t ]0^2pi + [ -cos t ]0^2pi ) = 4 ( (sin 2pi - sin 0) + (-cos 2pi + cos 0) )
Como sin 0 = 0, sin 2pi = 0, cos 0 = 1, e cos 2pi = 1, temos: