Calcule o gradiente do campo escalar f(rho, theta, z)=rho^2+rho^3 sin ^2 theta+3 z^2, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de um campo escalar em coordenadas cilíndricas.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas, que é
nabla f = erho,partial fpartial rho + etheta,1rho,partial fpartial theta + ez,partial fpartial z
Nossa função é
f(rho,theta,z)=rho^2+rho^3sin^2theta+3z^2

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada parcial em relação a rho:
partial fpartial rho = partialpartial rhol(rho^2r) + partialpartial rhol(rho^3sin^2thetar) + partialpartial rhol(3z^2r)
Como sin^2theta e z são tratados como constantes,
partial fpartial rho = 2rho + 3rho^2sin^2theta + 0 = 2rho + 3rho^2sin^2theta

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a theta:
partial fpartial theta = partialpartial thetal(rho^2r) + partialpartial thetal(rho^3sin^2thetar) + partialpartial thetal(3z^2r)
Só o termo rho^3sin^2theta depende de theta, logo
partial fpartial theta = rho^3cdot 2sinthetacostheta = rho^3sin(2theta)
No gradiente, o componente angular vem com fator 1/rho, ficando
etheta,1rho,partial fpartial theta = etheta,1rho,l(rho^3sin(2theta)r) = etheta,rho^2sin(2theta)

Passo 4

Por fim, a derivada parcial em relação a z:
partial fpartial z = partialpartial zl(rho^2r) + partialpartial zl(rho^3sin^2thetar) + partialpartial zl(3z^2r) = 0 + 0 + 6z = 6z
Esse termo dá o componente na direção ez.

Resposta

nabla f = erhol(2rho + 3rho^2sin^2thetar) + ethetal(rho^2sin(2theta)r) + ez,(6z)

Exercícios relacionados