Coordenadas esféricas são definidas pelas transformações
(a) Defina os versores
(\hat{r}, \hat{\theta}) e
(\hat{\varphi}) como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são
(\overrightarrow{\mathbf{e}}
{r}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial r}, \overrightarrow{\mathbf{e}}{\theta}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \theta}, \overrightarrow{\mathbf{e}}_{\varphi}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{r}}}{\partial \varphi}) normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas
e
.
(d) Calcule a métrica em coordenadas esféricas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala
e
.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(g) Tal sistema de coordenadas é dextrógiro ou levógiro?