Resolva o problema de valor inicial:
e^x-y y^prime=1 ; y=1 quando x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
e^x - y,y' = 1,
com a condição inicial y(1)=1. O método a usar é separação de variáveis.

Passo 2

Escrevendo y' = dfracdydx e isolando, temos
dydx = e^y - x Longrightarrow e^-y,dy = e^-x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^-x,dx Longrightarrow -,e^-y = -,e^-x + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial (x,y)=(1,1):
-,e^-1 = -,e^-1 + C Longrightarrow C = 0

Passo 5

Com C=0 obtemos
-,e^-y = -,e^-x Longrightarrow e^-y = e^-x Longrightarrow -y = -x Longrightarrow y = x

Resposta

y(x) = x

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