Resolva o problema de valor inicial:
y^prime ctg x+y=2 ; y==2 quando x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y',cot x + y = 2
com condição inicial y(0)=2.
Isso é um problema de EDO de primeira ordem linear. Para resolver, vamos reescrevê-la no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por tan x (válido para xneq kpi+tfracpi2, mas funciona por continuidade em x=0), obtemos
y' + y,tan x = 2,tan x
Aqui P(x)=tan x e Q(x)=2tan x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral tan x,dxr) = expl(-ln|cos x|r) = sec x

Passo 4

Multiplicando a equação linear por mu(x)=sec x, vem
sec x,y' + y,sec xtan x = 2,sec xtan x
que é exatamente
ddxl(y,sec xr) = 2,ddx(sec x)

Passo 5

Integrando em x,
y,sec x = 2,sec x + C
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y(x) = 2 + Ccos x

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=2, como cos0=1, temos
2 = 2 + Ccdot1 Longrightarrow C=0

Resposta

y(x) = 2

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