Resolva o problema de valor inicial:
e^y(y^prime+1)=1 ; y=0 quando x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
e^yl(y'+1r)=1, y(0)=0
Trata-se de uma EDO de primeira ordem e separável: vamos isolar y' e separar as variáveis para integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação em forma explícita:
e^y,y' + e^y = 1 Longrightarrow y' = 1 - e^ye^y = e^-y - 1

Passo 3

Agora separamos as variáveis:
dye^-y - 1 = dx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, reescrevemos o integrando:
1e^-y-1 = -,e^ye^y-1
Então
integral dye^-y-1 = -integral e^ye^y-1,dy

Passo 5

Usamos a substituição
u = e^y-1, du = e^y,dy,
ficando
-integral e^ye^y-1,dy = -integral duu = -lnl|ur| + C = -lnl|e^y-1r| + C
Logo a integral dá
-lnl|e^y-1r| = x + C

Passo 6

Elevando exponencialmente,
l|e^y-1r| = A,e^-x,
onde A = e^-C é constante positiva. Em princípio
e^y-1 = A,e^-x

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=0:
e^0-1 = A,e^0 Longrightarrow 0 = A,
ou seja A=0.

Passo 8

Com A=0 obtemos
e^y-1 = 0 Longrightarrow e^y=1 Longrightarrow y(x)=0
para todo x. Essa é a única solução que satisfaz y(0)=0.

Resposta

y(x)=0.

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