Calcule o laplaciano do campo escalar f(rho, theta, z)=rho^2+rho^3 sin ^2 theta+3 z^2, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o laplaciano do campo escalar
f(rho,theta,z)=rho^2+rho^3sin^2theta+3z^2
em coordenadas cilíndricas. O laplaciano em coordenadas cilíndricas é dado por
nabla^2f =1rhopartialpartialrhol(rho,partial fpartialrhor) +1rho^2partial^2fpartialtheta^2 +partial^2fpartial z^2
Para resolver, vamos calcular separadamente as derivadas parciais em rho, theta e z.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas em rho.
partial fpartialrho =2rho+3rho^2sin^2theta
Multiplicando por rho e derivando de novo:
rho,partial fpartialrho =2rho^2+3rho^3sin^2theta, partialpartialrhol(rho,partial fpartialrhor) =4rho+9rho^2sin^2theta
Logo, o termo radial do laplaciano é
1rhol(4rho+9rho^2sin^2thetar) =4+9rhosin^2theta

Passo 3

Agora a parte angular em theta. Primeiro
partial fpartialtheta = rho^3cdot2sinthetacostheta =2rho^3sinthetacostheta
Derivando novamente:
partial^2fpartialtheta^2 =2rho^3(cos^2theta-sin^2theta) =2rho^3cos2theta
Multiplicando por 1/rho^2 no laplaciano:
1rho^2partial^2fpartialtheta^2 =2rhocos2theta

Passo 4

A parte em z é direta, pois f tem 3z^2.
partial^2fpartial z^2 =partialpartial z(6z) =6

Passo 5

Somando os três termos:
nabla^2f =(4+9rhosin^2theta) +(2rhocos2theta) +6 =10+9rhosin^2theta+2rhocos2theta
Podemos simplificar usando cos2theta=cos^2theta-sin^2theta:
9sin^2theta+2cos2theta =9sin^2theta+2(cos^2theta-sin^2theta) =7sin^2theta+2cos^2theta =2+5sin^2theta
Logo,
nabla^2f =10+rho,(2+5sin^2theta) =10+2rho+5rhosin^2theta

Resposta

nabla^2f(rho,theta,z) =10+2rho+5rhosin^2theta

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