Calcule o gradiente do campo escalar
.
Resposta:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado dá o campo escalar
- O que nos pedem: calcular o gradiente de
, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Observação importante: como aparece
, a função (e portanto o gradiente) só está definida para
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo.
- Definição: o gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais:
- Regra prática para derivadas parciais: ao calcular
tratamos e como constantes; para tratamos e como constantes; para tratamos e como constantes. - No nosso
vemos um produto de três fatores , e . Para cada derivada parcial só vai diferir o fator que depende da variável que estamos derivando; os outros ficam multiplicando como constantes.
Passo 3
Calcular
.
- Como
e são tratados como constantes, é um fator constante multiplicando . - Derivada de
em relação a é . - Portanto:
Passo 4
Calcular
.
- Aqui
e são constantes, então é constante multiplicando . - Derivada de
em relação a é (mesma função). - Portanto:
Passo 5
Calcular
.
- Agora
e são constantes, então é constante multiplicando . - Derivada de
em relação a é (aqui entra a regra da cadeia básica: ). - Portanto:
Passo 6
Montar o vetor gradiente e comentar domínio.
- Juntando as três componentes pelo formato da definição do gradiente:
- Lembrete prático para a prova: sempre verifique o domínio (aqui
) e ao derivar parciales trate as outras variáveis como constantes — isso evita confusão e economiza tempo.