Calcule o gradiente do campo escalar f(x, y, z)=\sin (x) e^{y} \ln (z).
Resposta:
\nabla f=\left(\cos (x) e^{y} \ln (z)\right) \hat{\imath}+\left(\sin (x) e^{y} \ln (z)\right) \hat{\jmath}+\left(\frac{1}{z} \sin (x) e^{y}\right) \hat{k} .

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado dá o campo escalar
f(x,y,z)=\sin(x)\,e^{y}\,\ln(z).
  • O que nos pedem: calcular o gradiente de f, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x, y e z.
Observação importante: como aparece \ln(z), a função (e portanto o gradiente) só está definida para z>0.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo.
  • Definição: o gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\hat{k}.
  • Regra prática para derivadas parciais: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes; para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes; para \dfrac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes.
  • No nosso f vemos um produto de três fatores \sin(x), e^{y} e \ln(z). Para cada derivada parcial só vai diferir o fator que depende da variável que estamos derivando; os outros ficam multiplicando como constantes.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Como y e z são tratados como constantes, e^{y}\ln(z) é um fator constante multiplicando \sin(x).
  • Derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x).
  • Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)\,e^{y}\,\ln(z).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Aqui x e z são constantes, então \sin(x)\ln(z) é constante multiplicando e^{y}.
  • Derivada de e^{y} em relação a y é e^{y} (mesma função).
  • Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}=\sin(x)\,e^{y}\,\ln(z).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Agora x e y são constantes, então \sin(x)e^{y} é constante multiplicando \ln(z).
  • Derivada de \ln(z) em relação a z é \dfrac{1}{z} (aqui entra a regra da cadeia básica: \dfrac{d}{dz}\ln(z)=1/z).
  • Portanto:
\frac{\partial f}{\partial z}=\sin(x)\,e^{y}\,\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\sin(x)\,e^{y}.

Passo 6

Montar o vetor gradiente e comentar domínio.
  • Juntando as três componentes pelo formato da definição do gradiente:
\nabla f=\left(\cos(x)\,e^{y}\,\ln(z)\right)\hat{\imath}+\left(\sin(x)\,e^{y}\,\ln(z)\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{1}{z}\sin(x)\,e^{y}\right)\hat{k}.
  • Lembrete prático para a prova: sempre verifique o domínio (aqui z>0) e ao derivar parciales trate as outras variáveis como constantes — isso evita confusão e economiza tempo.

Resposta

\nabla f=\left(\cos(x)\,e^{y}\,\ln(z)\right)\hat{\imath}+\left(\sin(x)\,e^{y}\,\ln(z)\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{1}{z}\sin(x)\,e^{y}\right)\hat{k}.

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